miércoles, 13 de marzo de 2013

trigonometria


BOSQUEJO HISTÓRICO

HOY en día es común pensar que en el complejo proceso de creación, asimilación y aplicación del conocimiento científico, la tecnología es la última etapa que emana de la investigación científica. Si bien es cierto que existe una complicada interrelación entre la ciencia y la tecnología, al grado que es difícil pensar que ésta última sea ajena al quehacer científico, no siempre fue así. Cierto es que por ejemplo las comunicaciones, alámbricas e inalámbricas, surgen de la comprensión del comportamiento del campo electromagnético a través de los estudios de Faraday, Maxwell y Hertz en la segunda mitad del siglo pasado. Así, una tecnología emanó de los resultados de la investigación científica. Pero en el caso de los dispositivos que transforman energía y en particular energía térmica en trabajo mecánico, la situación fue completamente la opuesta. Estos últimos dispositivos, que ahora llamaremos máquinas térmicas se desarrollaron desde su forma más incipiente, en el siglo XVIII, hasta prácticamente la forma en que las conocemos hoy en día, lo que ocurrió ya hacia mediados del siglo XIX, sin que hubiese existido la menor comprensión sobre las causas teóricas, esto es, la explicación científica de su funcionamiento. Hagamos pues un poco de historia.
La primera máquina térmica de que tenemos evidencia escrita fue descubierta por Hero de Alejandría ( ~ 130 a.C.) y llamada la aeolipila. Es una turbina de vapor primitiva que consiste de un globo hueco soportado por un pivote de manera que pueda girar alrededor de un par de muñones, uno de ellos hueco. Por dicho muñón se puede inyectar vapor de agua, el cual escapa del globo hacia el exterior por dos tubos doblados y orientados tangencialmente en direcciones opuestas y colocados en los extremos del diámetro perpendicular al eje del globo. Al ser expelido el vapor, el globo reacciona a esta fuerza y gira alrededor de su eje. 

conseptos trigonometriscos  
Los mayas:
La civilización maya es la más antigua de las tres grandes culturas precolombinas, y sus orígenes se remontan al siglo XVI a.C. Se extendió por el sur de Yucatán (en México) y parte de Guatemala y Honduras. Cuando los españoles llegaron a la península de Yucatán, los mayas se encontraban inmersos en un período de decadencia que acabó en su disolución, y cuyas causas son aún bastante oscuras.
La sociedad estaba encabezada por los sacerdotes y los nobles. Los campesinos constituían la mayoría de la sociedad y vivían en el campo. También existían artesanos especializados y esclavos, generalmente prisioneros de guerra.
La familia era la unidad social fundamental. La economía se basaba en la agricultura, cuyos principales cultivos eran el maíz, el algodón y el cacao, que llegó a ser utilizado como moneda. En las labores artesanas destacó el trabajo del jade, los tejidos o la cestería, y el florecimiento artesanal fue lo que permitió un próspero comercio con sus vecinos.
Los mayas desarrollaron una escritura jeroglífica y sus conocimientos científicos eran muy avanzados. Los sacerdotes idearon un sistema de numeración vigesimal que empleaba el cero, y sus nociones astronómicas les permitieron concebir un calendario de 365 días. Observaban el cielo desde elevadas pirámides escalonadas y también construyeron grandes templos y palacios. Entre sus dioses principales están el dios de la lluvia, Chac, el del maíz, Centéolt, y el del viento, Kukulcán. En su honor se practicaban sacrificios humanos, danzas y juegos, entre los que destacó el juego de pelota.

Los aztecas:
Los aztecas formaron un poderoso imperio en lo que hoy es México, esto fue debido a que luego de haber recorrido diversos lugares, se establecieron definitivamente, a principios del siglo XIV d C., en el valle de México.  Allí fundaron su ciudad capital llamada Tenochtitlán, ubicada en la zona del lago Texcoco.  En ese lugar se encontraron con otros pueblos y con ellos lucharon por la obtención de las mejores tierras y por el control político de la región.
El emperador azteca tenía un poder ilimitado y los estamentos más influyentes eran los sacerdotes y los guerreros, el principal apoyo del emperador. La mayor parte de la población eran artesanos, agricultores, servidores públicos. Había esclavos que se empleaban en la agricultura, el transporte, etc. La educación era muy importante para los estamentos superiores. La enseñanza de la religión era muy importante, pero también se aprendía escritura, lectura, historia y música.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:
x
Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°

∠ α = 90°






x
Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°

∠ α = < 90°




x

Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°
∠ α = 180°

x
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°
∠ α = > 90° < 180º



x

Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°
∠ α = 360°


ANGULOS  EN EL PLANO CARTESIANO Y SUS SISTEMAS DE MEDICIÓN
Ángulo en posición normal: es aquel ángulo que tiene su lado inicial en el eje positivo de las x.  Es positivo cuando se dirige en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando se dirige en sentido de las manecillas del reloj.
                                                                                              
             
                                 
Ángulos coterminales: son ángulos normales que tienen igual lado terminal
α y β son ángulos coterminales
ACTIVIDAD PROPUESTA: si en la grafica anterior el ángulo β equivale a 40° deducir el valor del ángulo α.
Los estudiantes deben deducir el ángulo normal que se forma en cada uno de los cuadrantes, solo si es necesario  se intervendrá en esta situación

Propiedades de los Ángulos
Todo ángulo tiene una única medida y esta medida nos permite clasificarlos. Si se considera como unidad el grado, en el rango entre 0° y 180°, la clasificación usual es la siguiente:
Si $m$ es la medida de un ángulo, el ángulo es agudo sí y solo sí $0 < m < 90$; el ángulo es recto sí y solo sí $m = 90$; es obtuso sí y solo sí $90 < m < 180$ y es llano sí y sólo si $m = 180$.





Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.
Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

congruencia_triangulos_001
       
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

congruencia_triangulos_002
También tienen ángulos respectivamente congruentes:
congruencia_triangulos_003

Entonces es posible afirmar que congruencia_triangulos_001.
Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.
Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR congruencia_triangulos_010 Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:
congruencia_triangulos_004

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:
congruencia_triangulos_005


Dos triángulos son semejantes si existe una semejanza (o similitud) entre ambos. Una semejanza es una composición de una isometría (o sea, una rotación seguida (quizás) de una reflexión o simetría axial) con una homotecia. Puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma.
Por lo tanto dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma.
En el caso del triángulo la forma sólo depende de sus ángulos, no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde los ángulos son todos rectos pero cuya forma puede ser más o menos alargada es decir que depende de su esbeltez (cociente longitud / anchura).
Se puede simplificar así la definición:
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son 
\bar{A} = \bar{A'}, \bar{B} = \bar{B'} \mbox{ y } \bar{C} = \bar{C'}
. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son iguales.
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la fórmula siguiente:
(ABC \sim A'B'C') \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} \bar{A}=\bar{A'} \\ \bar{B}=\bar{B'} \\ \bar{C}=\bar{C'} \end{Bmatrix} \Longleftrightarrow \left ( \frac {A'B'} {AB} = \frac {A'C'} {AC} = \frac {B'C'} {BC} \right )