tag:blogger.com,1999:blog-79345273244064080842024-02-20T01:29:05.851-08:00trigonometria Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/07522337296945133714noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-7934527324406408084.post-40083160197487054162013-03-13T19:47:00.001-07:002013-03-13T19:47:50.192-07:00trigonometria <br />
<h2 style="background-color: #990000; border-style: double; border-width: 2px; color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12pt; letter-spacing: 0.5em; margin-bottom: 8px; margin-top: 10px; padding: 5px; text-align: center; word-spacing: 0.5em;">
BOSQUEJO HISTÓRICO</h2>
<center style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px;">
<img height="13" src="http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/imgs/linea.gif" style="border-width: 0px;" width="730" /></center>
<a href="" name="ID143" style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; text-align: justify;"></a><span style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; text-align: justify;"></span><div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; margin: 15px 30px; text-align: justify;">
H<code>OY </code>en día es común pensar que en el complejo proceso de creación, asimilación y aplicación del conocimiento científico, la tecnología es la última etapa que emana de la investigación científica. Si bien es cierto que existe una complicada interrelación entre la ciencia y la tecnología, al grado que es difícil pensar que ésta última sea ajena al quehacer científico, no siempre fue así. Cierto es que por ejemplo las comunicaciones, alámbricas e inalámbricas, surgen de la comprensión del comportamiento del campo electromagnético a través de los estudios de Faraday, Maxwell y Hertz en la segunda mitad del siglo pasado. Así, una tecnología emanó de los resultados de la investigación científica. Pero en el caso de los dispositivos que transforman energía y en particular energía térmica en trabajo mecánico, la situación fue completamente la opuesta. Estos últimos dispositivos, que ahora llamaremos máquinas térmicas se desarrollaron desde su forma más incipiente, en el siglo <code>XVIII</code>, hasta prácticamente la forma en que las conocemos hoy en día, lo que ocurrió ya hacia mediados del siglo<code> XIX</code>, sin que hubiese existido la menor comprensión sobre las causas teóricas, esto es, la explicación científica de su funcionamiento. Hagamos pues un poco de historia.<a href="" name="ID158"></a></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; margin: 15px 30px; text-align: justify;">
La primera máquina térmica de que tenemos evidencia escrita fue descubierta por Hero de Alejandría ( ~ 130 a.C.) y llamada la <i>aeolipila</i>. Es una turbina de vapor primitiva que consiste de un globo hueco soportado por un pivote de manera que pueda girar alrededor de un par de muñones, uno de ellos hueco. Por dicho muñón se puede inyectar vapor de agua, el cual escapa del globo hacia el exterior por dos tubos doblados y orientados tangencialmente en direcciones opuestas y colocados en los extremos del diámetro perpendicular al eje del globo. Al ser expelido el vapor, el globo reacciona a esta fuerza y gira alrededor de su eje.<a href="" name="ID165"></a> </div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; margin: 15px 30px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; margin: 15px 30px; text-align: justify;">
conseptos trigonometriscos </div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 15px; margin: 15px 30px; text-align: justify;">
</div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
<span style="text-decoration: underline;"><strong>Los mayas</strong>:</span></div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
La <strong>civilización maya</strong> es la más antigua de las tres grandes culturas precolombinas, y sus orígenes se remontan al siglo XVI a.C. Se extendió por el sur de Yucatán (en México) y parte de Guatemala y Honduras. Cuando los españoles llegaron a la península de Yucatán, los mayas se encontraban inmersos en un período de decadencia que acabó en su disolución, y cuyas causas son aún bastante oscuras.</div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
La sociedad estaba encabezada por los sacerdotes y los nobles. Los campesinos constituían la mayoría de la sociedad y vivían en el campo. También existían artesanos especializados y esclavos, generalmente prisioneros de guerra.</div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
La familia era la unidad social fundamental. La economía se basaba en la agricultura, cuyos principales cultivos eran el maíz, el algodón y el cacao, que llegó a ser utilizado como moneda. En las labores artesanas destacó el trabajo del jade, los tejidos o la cestería, y el florecimiento artesanal fue lo que permitió un próspero comercio con sus vecinos.</div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
Los <strong>mayas</strong> desarrollaron una escritura jeroglífica y sus conocimientos científicos eran muy avanzados. Los sacerdotes idearon un sistema de numeración vigesimal que empleaba el cero, y sus nociones astronómicas les permitieron concebir un calendario de 365 días. Observaban el cielo desde elevadas pirámides escalonadas y también construyeron grandes templos y palacios. Entre sus dioses principales están el dios de la lluvia, Chac, el del maíz, Centéolt, y el del viento, Kukulcán. En su honor se practicaban sacrificios humanos, danzas y juegos, entre los que destacó el juego de pelota.</div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div style="color: #444444; font-family: Lato, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
<div style="font-size: 14px; line-height: 18px; margin-bottom: 10px; margin-top: 4px; padding: 0px;">
<span style="text-decoration: underline;"><strong>Los aztecas</strong>:</span></div>
<div style="font-size: 14px; line-height: 18px; margin-bottom: 10px; margin-top: 4px; padding: 0px;">
Los <strong>aztecas</strong> formaron un poderoso imperio en lo que hoy es México, esto fue debido a que luego de haber recorrido diversos lugares, se establecieron definitivamente, a principios del siglo XIV d C., en el valle de México. Allí fundaron su ciudad capital llamada Tenochtitlán, ubicada en la zona del lago Texcoco. En ese lugar se encontraron con otros pueblos y con ellos lucharon por la obtención de las mejores tierras y por el control político de la región.</div>
<div style="font-size: 14px; line-height: 18px; margin-bottom: 10px; margin-top: 4px; padding: 0px;">
El <strong>emperador azteca</strong> tenía un poder ilimitado y los estamentos más influyentes eran los sacerdotes y los guerreros, el principal apoyo del emperador. La mayor parte de la población eran artesanos, agricultores, servidores públicos. Había esclavos que se empleaban en la agricultura, el transporte, etc. La educación era muy importante para los estamentos superiores. La enseñanza de la religión era muy importante, pero también se aprendía escritura, lectura, historia y música.</div>
<div style="font-size: 14px; line-height: 18px; margin-bottom: 10px; margin-top: 4px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div style="font-size: 14px; line-height: 18px; margin-bottom: 10px; margin-top: 4px; padding: 0px;">
</div>
<h4 style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 17px; line-height: normal; margin: 14px 0px 10px; padding: 0px; text-align: left;">
Clasificación de los ángulos</h4>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:</div>
<table align="right" border="1" bordercolor="#FF9900" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; border-left-color: rgb(153, 153, 153); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-spacing: 0px; border-top-color: rgb(153, 153, 153); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; width: 20%px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: rgb(153, 153, 153); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-right-color: rgb(153, 153, 153); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; margin: 0px; padding: 2px 10px;"><img alt="x" height="188" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulosclasificacion_image006.jpg" style="border: 0px;" width="192" /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>Ángulo recto</b>: es aquel cuya medida es de 90°</div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>∠ α = 90°</b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<table align="left" border="1" bordercolor="#FF9900" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; border-left-color: rgb(153, 153, 153); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-spacing: 0px; border-top-color: rgb(153, 153, 153); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; width: 20%px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: rgb(153, 153, 153); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-right-color: rgb(153, 153, 153); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; margin: 0px; padding: 2px 10px;"><img alt="x" height="142" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulosclasificacion_image008.jpg" style="border: 0px;" width="218" /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>Ángulo agudo</b>: es aquel cuya medida es menor que 90°</div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>∠ α = < 90°</b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<table align="right" border="1" bordercolor="#FF9900" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; border-left-color: rgb(153, 153, 153); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-spacing: 0px; border-top-color: rgb(153, 153, 153); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; width: 20%px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: rgb(153, 153, 153); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-right-color: rgb(153, 153, 153); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; margin: 0px; padding: 2px 10px;"><img alt="x" height="66" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulosclasificacion_image010.jpg" style="border: 0px;" width="246" /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>Ángulo extendido</b>: es aquel cuya medida es de 180°</div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>∠ α = 180°</b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<table align="left" border="1" bordercolor="#FF9900" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; border-left-color: rgb(153, 153, 153); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-spacing: 0px; border-top-color: rgb(153, 153, 153); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; width: 20%px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: rgb(153, 153, 153); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-right-color: rgb(153, 153, 153); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; margin: 0px; padding: 2px 10px;"><img alt="x" height="102" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulosclasificacion_image012.jpg" style="border: 0px;" width="250" /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b></b><b>Ángulo obtuso</b>: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°</div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>∠ α = > 90° < 180º</b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<table align="right" border="1" bordercolor="#FF9900" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; border-left-color: rgb(153, 153, 153); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-spacing: 0px; border-top-color: rgb(153, 153, 153); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; width: 20%px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: rgb(153, 153, 153); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-right-color: rgb(153, 153, 153); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; margin: 0px; padding: 2px 10px;"><img alt="x" height="96" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/angulosclasificacion_image014.jpg" style="border: 0px;" width="174" /></td></tr>
</tbody></table>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>Ángulo completo</b>: es aquel cuya medida es de 360°</div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b>∠ α = 360°</b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b id="internal-source-marker_0.6547500821761787" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-weight: normal; line-height: normal;"><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">ANGULOS EN EL PLANO CARTESIANO Y SUS SISTEMAS DE MEDICIÓN</span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Ángulo en posición normal</span><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">: es aquel ángulo que tiene su lado inicial en el eje positivo de las x. Es positivo cuando se dirige en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando se dirige en sentido de las manecillas del reloj.</span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span><img height="260px;" src="https://lh4.googleusercontent.com/MznWp3QndE0zC_R1CwsYg5gjW9df5WYgPrzOOzk9lyfV0eCmFBlMVYNNEhR3La58gS2sf9ss_t7mjvHv5a_MR_ToW4pl_6nV7W4jziFMW9qH_HQNCkw" width="347px;" /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span><img height="183px;" src="https://lh5.googleusercontent.com/aVLzxdq-TOVAsVw7CQDwEZJZyWaMQKn24cfLsBvTmLN5jNI91W_CLvRixEqGQFZX3TfdRNgwY08dbwP09XvjEqEfR5sMXDCF_IjIIn7fUNFumP7jvwQ" width="215px;" /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span></b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b id="internal-source-marker_0.6547500821761787" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-weight: normal; line-height: normal;"><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Ángulos coterminales</span><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">: son ángulos normales que tienen igual lado terminal</span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">α y β son ángulos coterminales</span><img height="164px;" src="https://lh3.googleusercontent.com/AGz3YAyiaLkFV63PpQOxKFZ8BhE8HKZEFmoSygweSz-J-cwVK0ePQv_gk5rVUwbhKkLfodP31lboX9z4aBYz3mtu-Sqn73sGDbUGv0E0pNRl2vMSxp4" width="164px;" /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"></span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">ACTIVIDAD PROPUESTA</span><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">: si en la grafica anterior el ángulo β equivale a 40° deducir el valor del ángulo α.</span><br /><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Los estudiantes deben deducir el ángulo normal que se forma en cada uno de los cuadrantes, solo si es necesario se intervendrá en esta situación</span></b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<b style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-weight: normal; line-height: normal;"><span style="background-color: transparent; font-family: Calibri; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"><br /></span></b></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px;"><tbody>
<tr><td><div align="left">
<span style="color: #666666; font-size: medium;"><strong class="titulo1_1" style="color: #123263; font-size: 12px; font-weight: bolder;"><span style="font-size: small;">Propiedades de los Ángulos</span></strong></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: normal;">
</div>
<div style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: normal;">
</div>
<div style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: normal;">
Todo ángulo tiene una única medida y esta medida nos permite clasificarlos. Si se considera como unidad el grado, en el rango entre 0° y 180°, la clasificación usual es la siguiente:</div>
<div style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: normal;">
Si <span class="inline-math-graphics"><img alt="$m$" height="21px" src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/graphics/geometria9__1.png" style="vertical-align: -4px;" width="15px" /></span> es la medida de un ángulo, el ángulo es agudo sí y solo sí <span class="inline-math-graphics"><img alt="$0 < m < 90$" height="21px" src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/graphics/geometria9__2.png" style="vertical-align: -4px;" width="92px" /></span>; el ángulo es recto sí y solo sí <span class="inline-math-graphics"><img alt="$m = 90$" height="21px" src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/graphics/geometria9__3.png" style="vertical-align: -4px;" width="58px" /></span>; es obtuso sí y solo sí <span class="inline-math-graphics"><img alt="$90 < m < 180$" height="21px" src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/graphics/geometria9__4.png" style="vertical-align: -4px;" width="110px" /></span> y es llano sí y sólo si <span class="inline-math-graphics"><img alt="$m = 180$" height="21px" src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/graphics/geometria9__5.png" style="vertical-align: -4px;" width="67px" /></span>.</div>
<div class="center" style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: normal;">
</div>
<table class="inlineTable" frame="void" rules="none" style="color: #333333; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px;"><colgroup><col align="center"></col><col align="center"></col><col align="center"></col><col align="center"></col></colgroup><tbody>
<tr><td><img src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/imagenes/ang_agudo.gif" /></td><td><img src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/imagenes/ang_recto.gif" /></td><td><img src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/imagenes/ang_obtuso.gif" /></td><td><img src="http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap3/imagenes/ang_llano.gif" /><br /><br /><br /></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, Verdana, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;">
</div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Se dice que un <b>Δ ABC es congruente con otro Δ DEF </b>si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.</div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:</div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<img alt="congruencia_triangulos_001" height="17" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_001.gif" style="border: 0px;" width="116" /></div>
<div align="left" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<br />Al observar<b> </b>los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente<b> </b>congruentes, que son:</div>
<div align="left" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<img alt="congruencia_triangulos_002" height="76" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_002.gif" style="border: 0px;" width="72" /></div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
También tienen ángulos respectivamente congruentes:</div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<img alt="congruencia_triangulos_003" height="66" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_003.gif" style="border: 0px;" width="77" /></div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Entonces es posible afirmar que <img align="absmiddle" alt="congruencia_triangulos_001" height="17" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_001.gif" style="border: 0px;" width="116" />.</div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.</div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Si, por ejemplo, tenemos <b>Δ ABR <img align="absmiddle" alt="congruencia_triangulos_010" height="13" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_010.gif" style="border: 0px;" width="14" /> Δ CDS,</b> sus lados respectivamente congruentes serán:</div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<img alt="congruencia_triangulos_004" height="76" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_004.gif" style="border: 0px;" width="74" /></div>
<div align="left" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<br /></div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
Y los ángulos respectivamente congruentes serán:</div>
<div align="center" style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<img alt="congruencia_triangulos_005" height="66" src="http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/congruencia_triangulos_005.gif" style="border: 0px;" width="82" /></div>
<div style="font-size: 12px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
</div>
<h4 style="font-size: 17px; line-height: normal; margin: 14px 0px 10px; padding: 0px;">
<br /></h4>
<div>
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Dos <b>triángulos</b> son <b>semejantes</b> si existe una <a class="mw-redirect" href="http://enciclopedia.us.es/index.php/Similitud_(matem%C3%A1ticas)" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Similitud (matemáticas)">semejanza</a> (o similitud) entre ambos. Una semejanza es una composición de una <a href="http://enciclopedia.us.es/index.php/Isometr%C3%ADa" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Isometría">isometría</a> (o sea, una rotación seguida (quizás) de una <a class="new" href="http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Simetr%C3%ADa_axial&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="Simetría axial (la página no existe)">reflexión o simetría axial</a>) con una <a href="http://enciclopedia.us.es/index.php/Homotecia" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Homotecia">homotecia</a>. Puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma.</div>
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Por lo tanto dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma.</div>
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
En el caso del triángulo la forma sólo depende de sus ángulos, no así en el caso de un <a href="http://enciclopedia.us.es/index.php/Rect%C3%A1ngulo" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="Rectángulo">rectángulo</a>, por ejemplo, donde los ángulos son todos rectos pero cuya forma puede ser más o menos alargada es decir que depende de su esbeltez (cociente <i>longitud / anchura</i>).</div>
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Se puede simplificar así la definición:</div>
<center style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;">
<b>Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos</b>.</center>
<span style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;">En la figura, los ángulos correspondientes son </span><div style="display: inline; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; vertical-align: 15%;">
<img alt="\bar{A} = \bar{A'}, \bar{B} = \bar{B'} \mbox{ y } \bar{C} = \bar{C'}" class="tex" src="http://enciclopedia.us.es/images/math/f/8/7/f870bba7b11635c91116dad864fca00e.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></div>
<span style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;">. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.</span><div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones <i>longitud imagen / longitud origen</i> son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:</div>
<center style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;">
<b>Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son iguales</b>.</center>
<div style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;">
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la fórmula siguiente:</div>
<center style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;">
<img alt="(ABC \sim A'B'C') \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} \bar{A}=\bar{A'} \\ \bar{B}=\bar{B'} \\ \bar{C}=\bar{C'} \end{Bmatrix} \Longleftrightarrow \left ( \frac {A'B'} {AB} = \frac {A'C'} {AC} = \frac {B'C'} {BC} \right ) " class="tex" src="http://enciclopedia.us.es/images/math/9/2/4/92419dbb2af62bd238979491522a1a5c.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></center>
</div>
<br />
</div>
<br />
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